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수학 스낵 모의고사
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1 . \( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}-n} \)의 값은? [2점]
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
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2 . 그림과 같이 \( \overline{AB}=2, \angle B = \displaystyle \frac{\pi}{2} \)인 직각삼각형 ABC에서
중심이 A, 반지름의 길이가 1인 원이 두 선분 AB, AC와
만나는 점을 각각 D, E라 하자.
호 DE의 삼등분점 중 점 D에가까운 점을 F라 하고,
직선 AF가 선분 BC와 만나는 점을 G라 하자.
\( BAG = \theta \)라 할 때, 삼각형 ABG의 내부와 부채꼴 ADF의
외부의 공통부분의 넓이를 \( f(\theta) \), 부채꼴 AFE의 넓이를
\( g(\theta) \)라 하자. \( 40 \times \displaystyle \lim_{\theta \to 0+} \displaystyle \frac{f(\theta)}{g(\theta)} \)의 값을 구하시오.
(단, \( 0< \theta < \displaystyle \frac{\pi}{6} \)) [3점]
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3 . 두 초점이 F, F′이고 장축의 길이가 \( 2a \)인 타원이 있다.
이 타원의 한 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인
원이 이 타원의 서로 다른 두 꼭짓점과 한 초점을 지날 때,
상수 \(a\)의 값은? [4점]
① $ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} $
② $ \displaystyle \frac{\sqrt{6}-1}{2} $
③ $ \sqrt{3}-1 $
④ $ 2 \sqrt{2}-2 $
⑤ $ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} $
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