수학 스낵 모의고사

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1 . 6개의 문자 \(a,\, a,\, a,\, a,\, b,\, c\)를 모두 일렬로 나열하는
  경우의 수는? [2점]

 
2 . 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6이 하나씩 적혀 있는 6장의 카드가 있다.
  이 6장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로
  나열할 때, 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 합이 10 이하가 되도록 카드가 놓일 확률은? [3점]

 
3 . 두 원 \(C_{1}, C_{2}\)가 있다. 그림과 같이 원 \(C_{1}\)위의 서로 다른 세 점
  \(A, B, C\)와 원 \(C_{2}\)위의 점 \(D\)가 주어져 있고, 세 점 \(A, O_{1},O_{2}\)와
  세 점 \(C, O_{2}, D\)가 각각 한 직선 위에 있다.
  이 때 \(\angle BO_{1}A =\theta_{1}, \angle O_{2}O_{1}C=\theta_{2}, \angle O_{1}O_{2}D=\theta_{3}\)이라 하자.

다음은 \(\overline{AB}:\overline{O_{1}D} = 1: 2\sqrt{2}\)이고, \(\theta_{3} = \theta_{1} + \theta_{2}\)일 때, 선분 \(AB\)와
  선분 \(CD\)의 길이의 비를 구하는 과정이다.

\(\angle CO_{2}O_{1} + \angle O_{1}O_{2}D = \pi\) 이므로, \(\theta_{3} =\displaystyle \frac{\pi}{2} + \displaystyle \frac{\theta_{2}}{2}\) 이고,
  \(\theta_{3} = \theta_{1} + \theta_{2}\)에서 \(2\theta_{1} + \theta_{2}= \pi\)이므로 \(\angle CO_{1}B = \theta_{1}\)이다.
  이 때 \(\angle O_{2}O_{1}B = \theta_{1} + \theta_{2}= \theta_{3}\) 이므로 삼각형 \(O_{1}O_{2}B\)와
  삼각형 \(O_{2}O_{1}D\)는 합동이다.
  \(\overline{AB}= k\)라 할 때
  \(\overline{BO_{2}} = \overline{O_{1}D} = 2\sqrt{2}k \)이므로, \(\overline{AO_{2}}= \left[ \text{ 가 } \right]\)이고,
  \(\angle BO_{2}A = \displaystyle \frac{\theta_{1}}{2}\)이므로 \(\cos{\displaystyle \frac{\theta_{1}}{2}} = \left[ \text{ 나 } \right]\)이다.
  삼각형\(O_{2}BC\)에서
  \(\overline{BC} = k, \overline{BO_{2}} = 2\sqrt{2}k, \angle CO_{2}B=\frac{\theta_{1}}{2}\)이므로
  코사인법칙에 의하여 \(\overline{O_{2}C} = \left[ \text{ 다 } \right]\)이다.
  \(\overline{CD} = \overline{O_{2}D} + \overline{O_{2}C} = \overline{O_{1}O_{2}} + \overline{O_{2}C}\)이므로
  \(\overline{AB}:\overline{CD} = k:\left(\displaystyle \frac{\left[ \text{ 가 } \right]}{2} + \left[ \text{ 다 } \right]\right)\)이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 \(f(k), g(k)\) 라 하고
  (나)에 알맞은 수를 \(p\)라 할 때, \(f(p)×g(p)\)의 값은? [4점]

오늘의 수학 꿀팁 ✏️

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